由滾動(dòng)的滑塊彈簧引發(fā)的簡(jiǎn)單思考

  相信大家小時(shí)候都玩過(guò)滑塊彈簧，比如說(shuō)彈簧筆、魔方，什么地方都有這種像螺紋管一樣的彈簧。當(dāng)你把這個(gè)滑塊彈簧在桌面滾動(dòng)的時(shí)候，就會(huì)看到一列波似乎從彈簧的一側(cè)傳遞向另一側(cè)；再比如鉆頭或者理發(fā)店門口的紅藍(lán)白三色柱，在轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候，也會(huì)感覺螺紋從一端源源不斷地冒出，最后消失在另一端，這看起來(lái)確實(shí)類似于波在行進(jìn)。我們可以簡(jiǎn)單計(jì)算這個(gè)波的波速。假設(shè)螺線管半徑為r，旋轉(zhuǎn)頻率為f，螺距為h。我們所觀測(cè)到的波是螺線管在某一平行其中心軸的平面上的投影。

  在一個(gè)周期1/f中，這個(gè)波“前進(jìn)”了一個(gè)螺距h，波速為hf。而螺線管上繞中心軸做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為2πrf。對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)，只要h>2πr的時(shí)候，總可以在螺線管各點(diǎn)速度均不超過(guò)光速的情況下，讓這個(gè)波的“波速”超過(guò)光速。沒有的，因?yàn)檫@個(gè)波根本沒有攜帶任何信息，可以說(shuō)，這個(gè)波上每一個(gè)點(diǎn)的軌跡，就像人浪一樣約定好了，只是和波看起來(lái)有一樣的形狀。那么我們能換復(fù)雜點(diǎn)的螺線管嗎藍(lán)線是紅線的投影。等相位點(diǎn)，就是每個(gè)極值點(diǎn)在不斷向右推進(jìn)，這就是相速度。
  但其實(shí)螺線管只是原地旋轉(zhuǎn)，波的“復(fù)包絡(luò)”，或者說(shuō)螺線管的“外輪廓”沒有前進(jìn)。而整體包絡(luò)前進(jìn)的速度可以認(rèn)為是“群速度”，就是大家一起“共同”的速度。此處舉一例，對(duì)于極其接近的ω1，ω2≈ω，有兩個(gè)波，其中第一項(xiàng)高頻項(xiàng)就是載波整體向前傳遞，而后一項(xiàng)，變化極慢的項(xiàng)則是波的形狀向前傳遞。那么對(duì)于一個(gè)給定的信號(hào)，如果把它當(dāng)作某個(gè)螺線管的投影，可以還原出它對(duì)應(yīng)的“螺線管”嗎？那就是希爾伯特變換，這個(gè)變換是一個(gè)有些復(fù)雜的積分變換，還是個(gè)反常積分。